... Mas não entendi a parte do cálculo da indutância, pois no vídeo não menciona nem o número de voltas e nem a indutância da bobina. ...

....use como referência um cano de pvc de 1/2" com 8,4cm de comprimento, como mostrado no vídeo, e preenchendo todo o comprimento com o enrolamento da bobina. ...

No vídeo se fala do comprimento do cano e da dimensão do fio...  mas será que é tão dificil assim calcular o número de voltas??  Quanto a fazer com 555, pode não dar certo.  o circuito é ressonante e a frequencia pode ser bem acima do que um 555 suporta.

Abraços.

Dá para estimar o número de voltas, mas no vídeo ele nao preenche todo o comprimento do cano com o fio. Sobre o 555, eu fiz uma busca rápida e encontrei alguns circuitos que usam ele.

Edit: alguém pode me explicar como essa bobina funciona? Conhecia apenas as bobinas com banco de capacitores.